4x^3+4=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4x^3+4=0

Вы ввели

   3        
4*x  + 4 = 0

$$4 x^{3} + 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$4 x^{3} + 4 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-4}$$
или
$$2^{\frac{2}{3}} x = \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*2^2/3 = (-1)^(1/3)*2^(2/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*2^2/3 = -1^1/3*2^2/3

Разделим обе части ур-ния на 2^(2/3)

x = (-1)^(1/3)*2^(2/3) / (2^(2/3))

Получим ответ: x = (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x2 = - - -------
     2      2   

$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
x3 = - + -------
     2      2   

$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___           ___
     1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
-1 + - - ------- + - + -------
     2      2      2      2   

$$\left(-1 + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

 /        ___\ /        ___\
 |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
-|- - -------|*|- + -------|
 \2      2   / \2      2   /

$$- (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{3} + 4 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + 1 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 1$$

Численный ответ

x1 = -1.0

x2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

x3 = 0.5 + 0.866025403784439*i

График