21x^2=5x-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: 21x^2=5x-1

Вы ввели

    2          
21*x  = 5*x - 1

$$21 x^{2} = 5 x - 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$21 x^{2} = 5 x - 1$$
в
$$21 x^{2} + \left(1 - 5 x\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 21$$
$$b = -5$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (21) * (1) = -59

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59} i}{42}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59} i}{42}$$
Упростить

Быстрый ответ

              ____
     5    I*\/ 59 
x1 = -- - --------
     42      42   

$$x_{1} = \frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59} i}{42}$$

              ____
     5    I*\/ 59 
x2 = -- + --------
     42      42   

$$x_{2} = \frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59} i}{42}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         ____            ____
5    I*\/ 59    5    I*\/ 59 
-- - -------- + -- + --------
42      42      42      42   

$$\left(\frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59} i}{42}\right) + \left(\frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59} i}{42}\right)$$

=

5/21

$$\frac{5}{21}$$

произведение

/         ____\ /         ____\
|5    I*\/ 59 | |5    I*\/ 59 |
|-- - --------|*|-- + --------|
\42      42   / \42      42   /

$$\left(\frac{5}{42} - \frac{\sqrt{59} i}{42}\right) \left(\frac{5}{42} + \frac{\sqrt{59} i}{42}\right)$$

=

1/21

$$\frac{1}{21}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$21 x^{2} = 5 x - 1$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - \frac{5 x}{21} + \frac{1}{21} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{5}{21}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{21}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = \frac{5}{21}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{21}$$

Численный ответ

x1 = 0.119047619047619 + 0.1828844225683*i

x2 = 0.119047619047619 - 0.1828844225683*i

График