2*x^7=x (уравнение)

Найду корень уравнения: 2*x^7=x

Вы ввели

   7    
2*x  = x

$$2 x^{7} = x$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 x^{7} = x$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{6}} = 2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -6 - содержит чётное число -6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{1}{x^{6}}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{1}{x^{6}}}} = \frac{-1}{\sqrt[6]{2}}$$
или
$$x = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$x = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^5/6/2

Получим ответ: x = 2^(5/6)/2
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^5/6/2

Получим ответ: x = -2^(5/6)/2
или
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{6}} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{6}} e^{- 6 i p} = 2$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (6 p \right )} + \cos{\left (6 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (6 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (6 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$z_{5} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

       5/6 
     -2    
x2 = ------
       2   

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$

      5/6
     2   
x3 = ----
      2  

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$

        5/6      5/6   ___
       2      I*2   *\/ 3 
x4 = - ---- - ------------
        4          4      

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$

        5/6      5/6   ___
       2      I*2   *\/ 3 
x5 = - ---- + ------------
        4          4      

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$

      5/6      5/6   ___
     2      I*2   *\/ 3 
x6 = ---- - ------------
      4          4      

$$x_{6} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$

      5/6      5/6   ___
     2      I*2   *\/ 3 
x7 = ---- + ------------
      4          4      

$$x_{7} = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{5}{6}} i}{4} \sqrt{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.44544935907 - 0.771540922109*i

x2 = 0.44544935907 - 0.771540922109*i

x3 = 0.44544935907 + 0.771540922109*i

x4 = 0.890898718140000

x5 = 0.0

x6 = -0.44544935907 + 0.771540922109*i

x7 = -0.890898718140000

График