2xy+y^2=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2xy+y^2=1

Вы ввели

         2    
2*x*y + y  = 1

$$2 x y + y^{2} = 1$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$2 x y + y^{2} = 1$$
в
$$\left(2 x y + y^{2}\right) - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2 x$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2*x)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4 + 4*x^2

Уравнение имеет два корня.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = - x + \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4}}{2}$$
Упростить
$$y_{2} = - x - \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ________
            /      2 
y1 = -x - \/  1 + x  

$$y_{1} = - x - \sqrt{x^{2} + 1}$$

        ________    
       /      2     
y2 = \/  1 + x   - x

$$y_{2} = - x + \sqrt{x^{2} + 1}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ________      ________    
           /      2      /      2     
0 + -x - \/  1 + x   + \/  1 + x   - x

$$\left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) + \left(\left(- x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) + 0\right)$$

=

-2*x

$$- 2 x$$

произведение

  /        ________\ /   ________    \
  |       /      2 | |  /      2     |
1*\-x - \/  1 + x  /*\\/  1 + x   - x/

$$1 \left(- x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p y + q + y^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 2 x$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = - 2 x$$
$$y_{1} y_{2} = -1$$