25 - x^6 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 25 - x^6 = 0

Вы ввели

      6    
25 - x  = 0

$$25 - x^{6} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$25 - x^{6} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{25}$$
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{25}$$
или
$$x = \sqrt[3]{5}$$
$$x = - \sqrt[3]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/3

Получим ответ: x = 5^(1/3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/3

Получим ответ: x = -5^(1/3)
или
$$x_{1} = - \sqrt[3]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{5}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 25$$
где
$$r = \sqrt[3]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[3]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$

Быстрый ответ

      3 ___
x1 = -\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt[3]{5}$$

     3 ___
x2 = \/ 5 

$$x_{2} = \sqrt[3]{5}$$

       3 ___       ___ 3 ___
       \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x3 = - ----- - -------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$

       3 ___       ___ 3 ___
       \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x4 = - ----- + -------------
         2           2      

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$

     3 ___       ___ 3 ___
     \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x5 = ----- - -------------
       2           2      

$$x_{5} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$

     3 ___       ___ 3 ___
     \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x6 = ----- + -------------
       2           2      

$$x_{6} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.854987973338349 - 1.48088260968236*i

x2 = 0.854987973338349 + 1.48088260968236*i

x3 = 0.854987973338349 - 1.48088260968236*i

x4 = -0.854987973338349 + 1.48088260968236*i

x5 = -1.7099759466767

x6 = 1.7099759466767