k^3+k-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: k^3+k-2=0

Вы ввели

 3            
k  + k - 2 = 0

$$k^{3} + k - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$k^{3} + k - 2 = 0$$
преобразуем
$$\left(1 k + \left(1 k^{3} - 1\right)\right) - 1 = 0$$
или
$$\left(1 k + \left(1 k^{3} - 1^{3}\right)\right) - 1 = 0$$
$$1 \left(k - 1\right) + 1 \left(k^{3} - 1^{3}\right) = 0$$
$$1 \left(k - 1\right) \left(\left(k^{2} + 1 k\right) + 1^{2}\right) + 1 \left(k - 1\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + k за скобки
получим:
$$\left(k - 1\right) \left(1 \left(\left(k^{2} + 1 k\right) + 1^{2}\right) + 1\right) = 0$$
или
$$\left(k - 1\right) \left(k^{2} + k + 2\right) = 0$$
тогда:
$$k_{1} = 1$$
и также
получаем ур-ние
$$k^{2} + k + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*k^2 + b*k + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$k_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$k_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (2) = -7

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

k2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

k3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$k_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
$$k_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (k^3 + k - 1*2) + 0 = 0:
$$k_{1} = 1$$
$$k_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$k_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

Быстрый ответ

k1 = 1

$$k_{1} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 7 
k2 = - - - -------
       2      2   

$$k_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 7 
k3 = - - + -------
       2      2   

$$k_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
          1   I*\/ 7      1   I*\/ 7 
0 + 1 + - - - ------- + - - + -------
          2      2        2      2   

$$\left(\left(0 + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /          ___\ /          ___\
    |  1   I*\/ 7 | |  1   I*\/ 7 |
1*1*|- - - -------|*|- - + -------|
    \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \cdot 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$k^{3} + k^{2} p + k q + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -2$$
Формулы Виета
$$k_{1} + k_{2} + k_{3} = - p$$
$$k_{1} k_{2} + k_{1} k_{3} + k_{2} k_{3} = q$$
$$k_{1} k_{2} k_{3} = v$$
$$k_{1} + k_{2} + k_{3} = 0$$
$$k_{1} k_{2} + k_{1} k_{3} + k_{2} k_{3} = 1$$
$$k_{1} k_{2} k_{3} = -2$$

Численный ответ

k1 = 1.0

k2 = -0.5 + 1.3228756555323*i

k3 = -0.5 - 1.3228756555323*i

График