cos(n*x)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(n*x)=0

Вы ввели

cos(n*x) = 0

$$\cos{\left(n x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos{\left(n x \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$\cos{\left(n x \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$n x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$n x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Или
$$n x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$n x = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$n$$
получим ответ:
$$x_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{n}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n - \frac{\pi}{2}}{n}$$

Быстрый ответ

           pi*re(n)             pi*I*im(n)    
x1 = ------------------- - -------------------
       /  2        2   \     /  2        2   \
     2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)/

$$x_{1} = \frac{\pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}$$

          3*pi*re(n)           3*pi*I*im(n)   
x2 = ------------------- - -------------------
       /  2        2   \     /  2        2   \
     2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)/

$$x_{2} = \frac{3 \pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{3 i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      pi*re(n)             pi*I*im(n)            3*pi*re(n)           3*pi*I*im(n)   
------------------- - ------------------- + ------------------- - -------------------
  /  2        2   \     /  2        2   \     /  2        2   \     /  2        2   \
2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)/

$$\left(\frac{\pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}\right) + \left(\frac{3 \pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{3 i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}\right)$$

=

   2*pi*re(n)       2*pi*I*im(n) 
--------------- - ---------------
  2        2        2        2   
im (n) + re (n)   im (n) + re (n)

$$\frac{2 \pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}} - \frac{2 i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}}$$

произведение

/      pi*re(n)             pi*I*im(n)    \ /     3*pi*re(n)           3*pi*I*im(n)   \
|------------------- - -------------------|*|------------------- - -------------------|
|  /  2        2   \     /  2        2   \| |  /  2        2   \     /  2        2   \|
\2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)// \2*\im (n) + re (n)/   2*\im (n) + re (n)//

$$\left(\frac{\pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}\right) \left(\frac{3 \pi \operatorname{re}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)} - \frac{3 i \pi \operatorname{im}{\left(n\right)}}{2 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)}\right)$$

=

    2                   2
3*pi *(-I*im(n) + re(n)) 
-------------------------
                      2  
     /  2        2   \   
   4*\im (n) + re (n)/   

$$\frac{3 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(n\right)} - i \operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}}{4 \left(\left(\operatorname{re}{\left(n\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(n\right)}\right)^{2}\right)^{2}}$$