cos(x)^(3)=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(x)^(3)=1

Вы ввели

   3       
cos (x) = 1

$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\cos^{3}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\cos^{3}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{3} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 w + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$w = 1$$
Получим ответ: w = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

x2 = 2*pi

$$x_{2} = 2 \pi$$

         /    /          ___\\              /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||
x3 = - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------||
         \    \  2      2   //              \    \  2      2   //

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /          ___\\              /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||
x4 = - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------||
         \    \  2      2   //              \    \  2      2   //

$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /          ___\\     /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
x5 = I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------||
         \    \  2      2   //     \    \  2      2   //

$$x_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /          ___\\     /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
x6 = I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
         \    \  2      2   //     \    \  2      2   //

$$x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                   /    /          ___\\              /    /          ___\\       /    /          ___\\              /    /          ___\\       /    /          ___\\     /    /          ___\\       /    /          ___\\     /    /          ___\\
                   |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
0 + 0 + 2*pi + - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|| + - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|| + I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|| + I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
                   \    \  2      2   //              \    \  2      2   //       \    \  2      2   //              \    \  2      2   //       \    \  2      2   //     \    \  2      2   //       \    \  2      2   //     \    \  2      2   //

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) - \left(- 6 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

6*pi

$$6 \pi$$

произведение

         /    /    /          ___\\              /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\              /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\
         |    |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 |||
1*0*2*pi*|- re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|||*|- re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|||*|I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||
         \    \    \  2      2   //              \    \  2      2   /// \    \    \  2      2   //              \    \  2      2   /// \    \    \  2      2   //     \    \  2      2   /// \    \    \  2      2   //     \    \  2      2   ///

$$1 \cdot 0 \cdot 2 \pi \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 18.8495557357502

x2 = 69.1150385175305

x3 = 75.3982238747115

x4 = 6.28318528429449

x5 = -69.1150388141884

x6 = -56.5486675685282

x7 = 31.4159267277685

x8 = -12.5663699517837

x9 = -69.1150385566728

x10 = 75.3982238837677

x11 = -12.5663704200047

x12 = -43.9822971363881

x13 = 56.5486676170947

x14 = -87.9645943589317

x15 = 25.1327414386061

x16 = -87.9645941839938

x17 = -37.6991118770384

x18 = 50.2654830133193

x19 = 43.982297169389

x20 = 81.6814091628428

x21 = 94.2477798199449

x22 = -43.9822971746191

x23 = 12.5663704611078

x24 = 75.3982232137719

x25 = 31.4159265223249

x26 = -62.8318531066494

x27 = 100.530964773407

x28 = -31.4159266945436

x29 = -18.849555628795

x30 = 62.8318528834733

x31 = 37.6991120075432

x32 = -25.1327414110065

x33 = 50.2654824463556

x34 = 87.9645943356089

x35 = -50.2654823041721

x36 = -1.73461045527493e-7

x37 = 0.0

x38 = 87.9645935781687

x39 = -75.3982238498477

x40 = -100.530964717737

x41 = 18.8495560058344

x42 = 94.2477796093526

x43 = -18.8495560071771

x44 = -81.6814090377821

x45 = 81.681408413289

x46 = 25.1327410819433

x47 = 69.1150381595891

x48 = 6.28318600318061

x49 = 43.9822967056455

x50 = 5015345.32634116

x51 = -94.247779460585

x52 = -6.28318514812931

x53 = -62.8318526887276

x54 = -75.3982237123583

График