(1-x)^4=11 (уравнение)

Найду корень уравнения: (1-x)^4=11

Вы ввели

       4     
(1 - x)  = 11

$$\left(1 - x\right)^{4} = 11$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(1 - x\right)^{4} = 11$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 - x\right)^{4}} = \sqrt[4]{11}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 - x\right)^{4}} = \sqrt[4]{11} \left(-1\right)$$
или
$$1 - x = \sqrt[4]{11}$$
$$1 - x = - \sqrt[4]{11}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 - x = 11^1/4

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$- x = -1 + \sqrt[4]{11}$$
Разделим обе части ур-ния на -1

x = -1 + 11^(1/4) / (-1)

Получим ответ: x = 1 - 11^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 - x = -11^1/4

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$- x = - \sqrt[4]{11} - 1$$
Разделим обе части ур-ния на -1

x = -1 - 11^(1/4) / (-1)

Получим ответ: x = 1 + 11^(1/4)
или
$$x_{1} = 1 + \sqrt[4]{11}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt[4]{11}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = 1 - x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 11$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 11$$
где
$$r = \sqrt[4]{11}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{11}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{11}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{11} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{11} i$$
делаем обратную замену
$$z = 1 - x$$
$$x = 1 - z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1 + \sqrt[4]{11}$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt[4]{11}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt[4]{11} i$$
$$x_{4} = 1 - \sqrt[4]{11} i$$

Быстрый ответ

         4 ____
x1 = 1 - \/ 11 

$$x_{1} = 1 - \sqrt[4]{11}$$

         4 ____
x2 = 1 + \/ 11 

$$x_{2} = 1 + \sqrt[4]{11}$$

           4 ____
x3 = 1 - I*\/ 11 

$$x_{3} = 1 - \sqrt[4]{11} i$$

           4 ____
x4 = 1 + I*\/ 11 

$$x_{4} = 1 + \sqrt[4]{11} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

        4 ____       4 ____         4 ____         4 ____
0 + 1 - \/ 11  + 1 + \/ 11  + 1 - I*\/ 11  + 1 + I*\/ 11 

$$\left(\left(\left(\left(1 - \sqrt[4]{11}\right) + 0\right) + \left(1 + \sqrt[4]{11}\right)\right) + \left(1 - \sqrt[4]{11} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt[4]{11} i\right)$$

=

4

$$4$$

произведение

  /    4 ____\ /    4 ____\ /      4 ____\ /      4 ____\
1*\1 - \/ 11 /*\1 + \/ 11 /*\1 - I*\/ 11 /*\1 + I*\/ 11 /

$$1 \cdot \left(1 - \sqrt[4]{11}\right) \left(1 + \sqrt[4]{11}\right) \left(1 - \sqrt[4]{11} i\right) \left(1 + \sqrt[4]{11} i\right)$$

=

-10

$$-10$$

Численный ответ

x1 = 2.82116028683787

x2 = 1.0 + 1.82116028683787*i

x3 = -0.821160286837872

x4 = 1.0 - 1.82116028683787*i

График