(1+х)^4=1,13 (уравнение)

Найду корень уравнения: (1+х)^4=1,13

Вы ввели

       4   113
(1 + x)  = ---
           100

$$\left(x + 1\right)^{4} = \frac{113}{100}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 1\right)^{4} = \frac{113}{100}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(x + 1\right)^{4}} = \sqrt[4]{\frac{113}{100}}$$
$$\sqrt[4]{\left(x + 1\right)^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{\frac{113}{100}}$$
или
$$x + 1 = \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
$$x + 1 = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 + x = sqrt10*113^1/4/10

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
Получим ответ: x = -1 + sqrt(10)*113^(1/4)/10
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 + x = -sqrt10*113^1/4/10

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10} - 1$$
Получим ответ: x = -1 - sqrt(10)*113^(1/4)/10
или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10} - 1$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{113}{100}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{113}{100}$$
где
$$r = \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10} - 1$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$
$$x_{3} = -1 - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$
$$x_{4} = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$

Быстрый ответ

            ____ 4 _____
          \/ 10 *\/ 113 
x1 = -1 + --------------
                10      

$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10}$$

            ____ 4 _____
          \/ 10 *\/ 113 
x2 = -1 - --------------
                10      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113}}{10} - 1$$

              ____ 4 _____
          I*\/ 10 *\/ 113 
x3 = -1 - ----------------
                 10       

$$x_{3} = -1 - \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$

              ____ 4 _____
          I*\/ 10 *\/ 113 
x4 = -1 + ----------------
                 10       

$$x_{4} = -1 + \frac{\sqrt{10} \sqrt[4]{113} i}{10}$$

Численный ответ

x1 = -1.0 + 1.03102598477122*i

x2 = -2.03102598477122

x3 = 0.0310259847712205

x4 = -1.0 - 1.03102598477122*i

График