(1+x)^5=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: (1+x)^5=5

Вы ввели

       5    
(1 + x)  = 5

$$\left(x + 1\right)^{5} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 1\right)^{5} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(x + 1\right)^{5}} = \sqrt[5]{5}$$
или
$$x + 1 = \sqrt[5]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 + x = 5^1/5

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1 + \sqrt[5]{5}$$
Получим ответ: x = -1 + 5^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[5]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{5}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1 + \sqrt[5]{5}$$
$$x_{2} = -1 - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = -1 - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = -1 - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = -1 - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 0.379729661461215

$$x_{1} = 0.379729661461215$$

x2 = -2.11622474376532 - 0.810984747157389*I

$$x_{2} = -2.11622474376532 - 0.810984747157389 i$$

x3 = -2.11622474376532 + 0.810984747157389*I

$$x_{3} = -2.11622474376532 + 0.810984747157389 i$$

x4 = -0.573640086965292 - 1.31220088525839*I

$$x_{4} = -0.573640086965292 - 1.31220088525839 i$$

x5 = -0.573640086965292 + 1.31220088525839*I

$$x_{5} = -0.573640086965292 + 1.31220088525839 i$$

Численный ответ

x1 = -0.573640086965292 - 1.31220088525839*i

x2 = 0.379729661461215

x3 = -2.11622474376532 - 0.810984747157389*i

x4 = -2.11622474376532 + 0.810984747157389*i

x5 = -0.573640086965292 + 1.31220088525839*i

График