1+z^3=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 1+z^3=0

    Решение

    Вы ввели [src]
         3    
    1 + z  = 0
    z3+1=0z^{3} + 1 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z3+1=0z^{3} + 1 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z33=13\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-1}
    или
    z=13z = \sqrt[3]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -1^1/3

    Получим ответ: z = (-1)^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w3=1w^{3} = -1
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=1r^{3} e^{3 i p} = -1
    где
    r=1r = 1
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = -1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=1w_{1} = -1
    w2=123i2w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
    w3=12+3i2w_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=1z_{1} = -1
    z2=123i2z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
    z3=12+3i2z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
    График
    -15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.5-20002000
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -1
    z1=1z_{1} = -1
                 ___
         1   I*\/ 3 
    z2 = - - -------
         2      2   
    z2=123i2z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
                 ___
         1   I*\/ 3 
    z3 = - + -------
         2      2   
    z3=12+3i2z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.5 + 0.866025403784439*i
    z2 = 0.5 - 0.866025403784439*i
    z3 = -1.0
    График
    1+z^3=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/b5/321bfff6d47816290dc14b4cc2c31.png