(5-2×)³ = 0,027 (уравнение)

Найду корень уравнения: (5-2×)³ = 0,027

Вы ввели

         3    27 
(5 - 2*x)  = ----
             1000

$$\left(5 - 2 x\right)^{3} = \frac{27}{1000}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(5 - 2 x\right)^{3} = \frac{27}{1000}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(5 - 2 x\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}}$$
или
$$5 - 2 x = \frac{3}{10}$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$- 2 x = - \frac{47}{10}$$
Разделим обе части ур-ния на -2

x = -47/10 / (-2)

Получим ответ: x = 47/20

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = 5 - 2 x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{27}{1000}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{27}{1000}$$
где
$$r = \frac{3}{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{3}{10}$$
$$z_{2} = - \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
делаем обратную замену
$$z = 5 - 2 x$$
$$x = \frac{5}{2} - \frac{z}{2}$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{47}{20}$$
$$x_{2} = \frac{103}{40} + \frac{3 \sqrt{3} i}{40}$$
$$x_{3} = \frac{103}{40} - \frac{3 \sqrt{3} i}{40}$$

Быстрый ответ

     47
x1 = --
     20

$$x_{1} = \frac{47}{20}$$

                 ___
     103   3*I*\/ 3 
x2 = --- - ---------
      40       40   

$$x_{2} = \frac{103}{40} - \frac{3 \sqrt{3} i}{40}$$

                 ___
     103   3*I*\/ 3 
x3 = --- + ---------
      40       40   

$$x_{3} = \frac{103}{40} + \frac{3 \sqrt{3} i}{40}$$

Численный ответ

x1 = 2.575 + 0.129903810567666*i

x2 = 2.35

x3 = 2.575 - 0.129903810567666*i

График