5^(2x-7)=1/125 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5^(2x-7)=1/125

Вы ввели

 2*x - 7        
5        = 1/125

$$5^{2 x - 7} = \frac{1}{125}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$5^{2 x - 7} = \frac{1}{125}$$
или
$$5^{2 x - 7} - \frac{1}{125} = 0$$
или
$$\frac{25^{x}}{78125} = \frac{1}{125}$$
или
$$25^{x} = 625$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 25^{x}$$
получим
$$v - 625 = 0$$
или
$$v - 625 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 625$$
Получим ответ: v = 625
делаем обратную замену
$$25^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(25 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(625 \right)}}{\log{\left(25 \right)}} = 2$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

     log(25)    pi*I 
x2 = ------- + ------
      log(5)   log(5)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(25)    pi*I 
0 + 2 + ------- + ------
         log(5)   log(5)

$$\left(0 + 2\right) + \left(\frac{\log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

    log(25)    pi*I 
2 + ------- + ------
     log(5)   log(5)

$$\frac{\log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + 2 + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

произведение

    /log(25)    pi*I \
1*2*|------- + ------|
    \ log(5)   log(5)/

$$1 \cdot 2 \left(\frac{\log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$

=

    2*pi*I
4 + ------
    log(5)

$$4 + \frac{2 i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 2.0 + 1.95198126583117*i

График