7^(3*x-2)=49^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: 7^(3*x-2)=49^2

Вы ввели

 3*x - 2     2
7        = 49 

$$7^{3 x - 2} = 49^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$7^{3 x - 2} = 49^{2}$$
или
$$7^{3 x - 2} - 49^{2} = 0$$
или
$$\frac{343^{x}}{49} = 2401$$
или
$$343^{x} = 117649$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 343^{x}$$
получим
$$v - 117649 = 0$$
или
$$v - 117649 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 117649$$
Получим ответ: v = 117649
делаем обратную замену
$$343^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(343 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(117649 \right)}}{\log{\left(343 \right)}} = 2$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

     log(117649)    2*pi*I 
x2 = ----------- - --------
       3*log(7)    3*log(7)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}$$

     log(117649)    2*pi*I 
x3 = ----------- + --------
       3*log(7)    3*log(7)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        log(117649)    2*pi*I    log(117649)    2*pi*I 
0 + 2 + ----------- - -------- + ----------- + --------
          3*log(7)    3*log(7)     3*log(7)    3*log(7)

$$\left(\left(0 + 2\right) + \left(\frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}\right)$$

=

    2*log(117649)
2 + -------------
       3*log(7)  

$$2 + \frac{2 \log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}}$$

произведение

    /log(117649)    2*pi*I \ /log(117649)    2*pi*I \
1*2*|----------- - --------|*|----------- + --------|
    \  3*log(7)    3*log(7)/ \  3*log(7)    3*log(7)/

$$1 \cdot 2 \left(\frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(117649 \right)}}{3 \log{\left(7 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(7 \right)}}\right)$$

=

          2  
      8*pi   
8 + ---------
         2   
    9*log (7)

$$\frac{8 \pi^{2}}{9 \log{\left(7 \right)}^{2}} + 8$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = 2.0 - 1.07630617138719*i

x3 = 2.0 + 1.07630617138719*i

График