(6/5)=x^4 (уравнение)

Найду корень уравнения: (6/5)=x^4

Вы ввели

       4
6/5 = x 

$$\frac{6}{5} = x^{4}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{6}{5} = x^{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{\frac{6}{5}}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{\frac{6}{5}}$$
или
$$x = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$x = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^3/4*6^1/4/5

Получим ответ: x = 5^(3/4)*6^(1/4)/5
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^3/4*6^1/4/5

Получим ответ: x = -5^(3/4)*6^(1/4)/5
или
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{6}{5}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{6}{5}$$
где
$$r = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$z_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$z_{3} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$
$$z_{4} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$
$$x_{4} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$

Быстрый ответ

       3/4 4 ___ 
     -5   *\/ 6  
x1 = ------------
          5      

$$x_{1} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$

      3/4 4 ___
     5   *\/ 6 
x2 = ----------
         5     

$$x_{2} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6}}{5}$$

         3/4 4 ___ 
     -I*5   *\/ 6  
x3 = --------------
           5       

$$x_{3} = - \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$

        3/4 4 ___
     I*5   *\/ 6 
x4 = ------------
          5      

$$x_{4} = \frac{5^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{6} i}{5}$$

Численный ответ

x1 = 1.04663513939211

x2 = 1.04663513939211*i

x3 = -1.04663513939211

x4 = -1.04663513939211*i

График