sin^3 x+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^3 x+1=0

Вы ввели

   3           
sin (x) + 1 = 0

$$\sin^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{3} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$w = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w = -1^1/3

Получим ответ: w = (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x2 = ----
      2  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

            /    /        ___\\       /    /        ___\\
            |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||
x3 = pi - re|asin|- - -------|| - I*im|asin|- - -------||
            \    \2      2   //       \    \2      2   //

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

            /    /        ___\\       /    /        ___\\
            |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||
x4 = pi - re|asin|- + -------|| - I*im|asin|- + -------||
            \    \2      2   //       \    \2      2   //

$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\     /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||
x5 = I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------||
         \    \2      2   //     \    \2      2   //

$$x_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\     /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||
x6 = I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------||
         \    \2      2   //     \    \2      2   //

$$x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

Численный ответ

x1 = 92.67698309998

x2 = 36.1283150625442

x3 = -51.8362787984571

x4 = -45.55309358555

x5 = 80.1106124235831

x6 = 10.9955741761999

x7 = 73.8274274760468

x8 = 80.110613148936

x9 = 48.6946859467605

x10 = -76.9690199930264

x11 = -64.4026495622672

x12 = 61.261056863126

x13 = -535.641548319259

x14 = -102.101761611478

x15 = -7.85398121566539

x16 = -70.6858350742211

x17 = -51.836278690176

x18 = 10.9955735951267

x19 = -32.9867230048867

x20 = 29.8451303175365

x21 = 17.2787597285303

x22 = 54.9778713485776

x23 = 80.1106131132692

x24 = 98.9601686818021

x25 = -7.85398150052392

x26 = 36.1283160772067

x27 = -58.1194640009851

x28 = -89.5353907223669

x29 = 36.1283159009378

x30 = -39.2699083582576

x31 = -51.8362782072988

x32 = -1.57079642748477

x33 = -70.685834548042

x34 = 36.1283156572705

x35 = -7.85398147285144

x36 = -26.7035376915384

x37 = -64.4026492104315

x38 = 98.9601684462868

x39 = -95.8185760496968

x40 = -32.9867229539762

x41 = -14.1371668414551

x42 = 23.5619450951333

x43 = 67.5442422472323

x44 = -76.9690203109319

x45 = 23.5619453999094

x46 = 4.71238879400506

x47 = -7.85398184192028

x48 = 61.2610569012402

x49 = -95.8185758682086

x50 = -26.7035374086699

x51 = 86.3937978895638

x52 = -102.101761507007

x53 = 10.9955741168604

x54 = 17.2787596440065

x55 = -89.5353907433155

x56 = 54.9778713098145

x57 = -83.2522055099942

x58 = -20.4203520574276

x59 = 42.4115007308839

x60 = -76.9690200799886

График