sinx(2sinx-1)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: sinx(2sinx-1)=0

Вы ввели

sin(x)*(2*sin(x) - 1) = 0

$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$w \left(2 w - 1\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 w^{2} - w = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (2) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     6 

$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

x4 = pi

$$x_{4} = \pi$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi   5*pi     
0 + 0 + -- + ---- + pi
        6     6       

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}\right) + \pi$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

    pi 5*pi   
1*0*--*----*pi
    6   6     

$$\pi \frac{5 \pi}{6} 1 \cdot 0 \frac{\pi}{6}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 56.5486677646163

x2 = 40.317105721069

x3 = -12.0427718387609

x4 = -93.7241808320955

x5 = 62.8318530717959

x6 = -34.5575191894877

x7 = -59.6902604182061

x8 = 87.9645943005142

x9 = 69.1150383789755

x10 = -84.8230016469244

x11 = 100.530964914873

x12 = -37.6991118430775

x13 = -56.025068989018

x14 = -100.007366139275

x15 = 78.0162175641465

x16 = 65.9734457253857

x17 = 38.2227106186758

x18 = 53.4070751110265

x19 = 47.1238898038469

x20 = -40.8407044966673

x21 = 15.707963267949

x22 = 84.2994028713261

x23 = 25.1327412287183

x24 = 12.5663706143592

x25 = -18.3259571459405

x26 = 59.6902604182061

x27 = -62.3082542961976

x28 = 50.789081233035

x29 = -31.4159265358979

x30 = 25.6563400043166

x31 = -9.94837673636768

x32 = -18.8495559215388

x33 = -53.4070751110265

x34 = -75.398223686155

x35 = 21.9911485751286

x36 = 2.61799387799149

x37 = 50.2654824574367

x38 = -91.6297857297023

x39 = -3.66519142918809

x40 = -53.9306738866248

x41 = -68.5914396033772

x42 = -15.707963267949

x43 = 19.3731546971371

x44 = -143.989663289532

x45 = 97.3893722612836

x46 = -47.6474885794452

x47 = -62.8318530717959

x48 = 91.106186954104

x49 = 28.2743338823081

x50 = 69.6386371545737

x51 = 43.9822971502571

x52 = 75.9218224617533

x53 = -85.3466004225227

x54 = -21.9911485751286

x55 = 3.14159265358979

x56 = 94.2477796076938

x57 = -87.9645943005142

x58 = -25.1327412287183

x59 = 9.42477796076938

x60 = 46.6002910282486

x61 = -28.2743338823081

x62 = 31.9395253114962

x63 = -24.60914245312

x64 = -5.75958653158129

x65 = -49.7418836818384

x66 = -78.5398163397448

x67 = -476.99848457005

x68 = 18.8495559215388

x69 = -65.9734457253857

x70 = -74.8746249105567

x71 = 82.2050077689329

x72 = -69.1150383789755

x73 = 6.28318530717959

x74 = 0.0

x75 = 34.0339204138894

x76 = 72.2566310325652

x77 = -97.9129710368819

x78 = -43.9822971502571

x79 = -106.290551446455

x80 = 128.281700021583

x81 = 96.8657734856853

x82 = -41.3643032722656

x83 = -81.6814089933346

x84 = -72.2566310325652

x85 = 90.5825881785057

График