sin(x) + cos(x)^2 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(x) + cos(x)^2 = 0

Вы ввели

            2       
sin(x) + cos (x) = 0

$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$

Быстрый ответ

         /    /                       ___________\\         /    /                       ___________\\
         |    |        ___     ___   /       ___ ||         |    |        ___     ___   /       ___ ||
         |    |  1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||         |    |  1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||
x1 = 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------||
         \    \  2     2              2          //         \    \  2     2              2          //

$$x_{1} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)}$$

            /                     ___________\
            |      ___     ___   /       ___ |
            |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  |
x2 = -2*atan|- + ----- + --------------------|
            \2     2              2          /

$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$

           /    /                     ___________\\         /    /                     ___________\\
           |    |      ___     ___   /       ___ ||         |    |      ___     ___   /       ___ ||
           |    |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||         |    |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||
x3 = - 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------||
           \    \2     2              2          //         \    \2     2              2          //

$$x_{3} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)}$$

            /                     ___________\
            |      ___     ___   /       ___ |
            |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  |
x4 = -2*atan|- + ----- - --------------------|
            \2     2              2          /

$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 68.4487989464829

x2 = 16.3742027004415

x3 = 54.073314543519

x4 = -13.2326100468517

x5 = 98.0556116937761

x6 = -59.0240209857136

x7 = 93.5815401752013

x8 = -38.36535127557

x9 = 18.1833164890462

x10 = -0.666239432492515

x11 = 81.0151695608421

x12 = -1917.03775812227

x13 = 41.5069439291598

x14 = -40.1744650641748

x15 = -19.5157953540313

x16 = -84.1567622144319

x17 = 87.2983548680217

x18 = 10.0910173932619

x19 = 60.3564998506986

x20 = -76.0644631186476

x21 = 85.4892410794169

x22 = -2.47535322109728

x23 = 47.7901292363394

x24 = -15.0417238354565

x25 = 11.9001311818667

x26 = -25.7989806612109

x27 = 5.61694587468707

x28 = 24.4665017962258

x29 = 13405.8420923001

x30 = -63.4980925042884

x31 = 3.80783208608231

x32 = -8.75853852827686

x33 = 28.9405733148007

x34 = -46.4576503713544

x35 = 74.7319842536625

x36 = -52.740835678534

x37 = 99.8647254823809

x38 = -90.4399475216115

x39 = 72.9228704650578

x40 = 66.6396851578782

x41 = 62.1656136393034

x42 = -27.6080944498156

x43 = 22.6573880076211

x44 = -65.3072062928931

x45 = -32.0821659683904

x46 = -94.9140190401863

x47 = -88.6308337330067

x48 = -57.2149071971088

x49 = -77.8735769072523

x50 = -71.5903916000727

x51 = 49.5992430249442

x52 = 30.7496871034054

x53 = -69.781277811468

x54 = 43.3160577177646

x55 = -82.3476484258271

x56 = -33.8912797569952

x57 = 55.8824283321238

x58 = 91.7724263865965

x59 = -21.324909142636

x60 = -44.6485365827496

График