sin(x)=cos(x)^(2) (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(x)=cos(x)^(2)

Вы ввели

            2   
sin(x) = cos (x)

$$\sin{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$\sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$

Быстрый ответ

           /    /                       ___________\\         /    /                       ___________\\
           |    |        ___     ___   /       ___ ||         |    |        ___     ___   /       ___ ||
           |    |  1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||         |    |  1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||
x1 = - 2*re|atan|- - + ----- + --------------------|| - 2*I*im|atan|- - + ----- + --------------------||
           \    \  2     2              2          //         \    \  2     2              2          //

$$x_{1} = - 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)} - 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)}$$

           /                     ___________\
           |      ___     ___   /       ___ |
           |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  |
x2 = 2*atan|- + ----- + --------------------|
           \2     2              2          /

$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} \right)}$$

         /    /                     ___________\\         /    /                     ___________\\
         |    |      ___     ___   /       ___ ||         |    |      ___     ___   /       ___ ||
         |    |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||         |    |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 - \/ 5  ||
x3 = 2*re|atan|- - ----- + --------------------|| + 2*I*im|atan|- - ----- + --------------------||
         \    \2     2              2          //         \    \2     2              2          //

$$x_{3} = 2 \operatorname{re}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)} + 2 i \operatorname{im}{\left(\operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 - \sqrt{5}}}{2} \right)}\right)}$$

           /                     ___________\
           |      ___     ___   /       ___ |
           |1   \/ 5    \/ 2 *\/  1 + \/ 5  |
x4 = 2*atan|- + ----- - --------------------|
           \2     2              2          /

$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 38.36535127557

x2 = -72.9228704650578

x3 = 88.6308337330067

x4 = 15.0417238354565

x5 = -24.4665017962258

x6 = -41.5069439291598

x7 = -47.7901292363394

x8 = -91.7724263865965

x9 = -11.9001311818667

x10 = 40.1744650641748

x11 = 65.3072062928931

x12 = 63.4980925042884

x13 = 69.781277811468

x14 = -87.2983548680217

x15 = -66.6396851578782

x16 = -93.5815401752013

x17 = 52.740835678534

x18 = 71.5903916000727

x19 = -10.0910173932619

x20 = 84.1567622144319

x21 = -37.032872410585

x22 = 96.7231328287911

x23 = -43.3160577177646

x24 = -5.61694587468707

x25 = 82.3476484258271

x26 = -35.2237586219802

x27 = -16.3742027004415

x28 = 33.8912797569952

x29 = 25.7989806612109

x30 = 19.5157953540313

x31 = -54.073314543519

x32 = 46.4576503713544

x33 = -85.4892410794169

x34 = 21.324909142636

x35 = -62.1656136393034

x36 = -79.2060557722373

x37 = 2.47535322109728

x38 = -49.5992430249442

x39 = -3.80783208608231

x40 = 90.4399475216115

x41 = -98.0556116937761

x42 = -68.4487989464829

x43 = -81.0151695608421

x44 = 77.8735769072523

x45 = 32.0821659683904

x46 = 6.9494247396721

x47 = -269.51072877623

x48 = -18.1833164890462

x49 = 8.75853852827686

x50 = 44.6485365827496

x51 = -55.8824283321238

x52 = -99.8647254823809

x53 = 76.0644631186476

x54 = 50.9317218899292

x55 = -30.7496871034054

x56 = 0.666239432492515

x57 = 94.9140190401863

x58 = -22.6573880076211

x59 = 103.006318135971

x60 = -60.3564998506986

x61 = 27.6080944498156

График