3x^3+5x^2+5x+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^3+5x^2+5x+3=0

Вы ввели

   3      2              
3*x  + 5*x  + 5*x + 3 = 0

$$\left(5 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(5 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
преобразуем
$$\left(5 x + \left(\left(5 x^{2} + \left(3 x^{3} + 3\right)\right) - 5\right)\right) + 5 = 0$$
или
$$\left(5 x + \left(\left(5 x^{2} + \left(3 x^{3} - 3 \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 5 \left(-1\right)^{2}\right)\right) - -5 = 0$$
$$5 \left(x + 1\right) + \left(5 \left(x^{2} - \left(-1\right)^{2}\right) + 3 \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$5 \left(x + 1\right) + \left(\left(x - 1\right) 5 \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 1\right) \left(\left(5 \left(x - 1\right) + 3 \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right)\right) + 5\right) = 0$$
или
$$\left(x + 1\right) \left(3 x^{2} + 2 x + 3\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -1$$
и также
получаем ур-ние
$$3 x^{2} + 2 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 2$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (3) * (3) = -32

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для 3*x^3 + 5*x^2 + 5*x + 3 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

                 ___
       1   2*I*\/ 2 
x2 = - - - ---------
       3       3    

$$x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$

                 ___
       1   2*I*\/ 2 
x3 = - - + ---------
       3       3    

$$x_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                 ___               ___
       1   2*I*\/ 2      1   2*I*\/ 2 
-1 + - - - --------- + - - + ---------
       3       3         3       3    

$$\left(-1 + \left(- \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3}\right)\right) + \left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}\right)$$

=

-5/3

$$- \frac{5}{3}$$

произведение

 /            ___\ /            ___\
 |  1   2*I*\/ 2 | |  1   2*I*\/ 2 |
-|- - - ---------|*|- - + ---------|
 \  3       3    / \  3       3    /

$$- (- \frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3}) \left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$\left(5 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) + 3 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} + \frac{5 x^{2}}{3} + \frac{5 x}{3} + 1 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{5}{3}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{5}{3}$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{5}{3}$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{5}{3}$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 1$$

Численный ответ

x1 = -1.0

x2 = -0.333333333333333 + 0.942809041582063*i

x3 = -0.333333333333333 - 0.942809041582063*i

График