y^2=2Cx (уравнение)

Найду корень уравнения: y^2=2Cx

Вы ввели

 2        
y  = 2*c*x

$$y^{2} = 2 c x$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$y^{2} = 2 c x$$
в
$$- 2 c x + y^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - 2 c x$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2*c*x) = 8*c*x

Уравнение имеет два корня.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = \sqrt{2} \sqrt{c x}$$
Упростить
$$y_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{c x}$$
Упростить

Быстрый ответ

                _____________________                                           _____________________                             
         ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
y1 = - \/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                                         \           2           /                                       \           2           /

$$y_{1} = - \sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}$$

              _____________________                                           _____________________                             
       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
y2 = \/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                                       \           2           /                                       \           2           /

$$y_{2} = \sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           _____________________                                           _____________________                                         _____________________                                           _____________________                             
    ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\     ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\
- \/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------| + \/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------|
                                    \           2           /                                       \           2           /                                     \           2           /                                       \           2           /

$$\left(- \sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/           _____________________                                           _____________________                             \ /         _____________________                                           _____________________                             \
|    ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\| |  ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\       ___ 4 /   2          2          /atan2(im(c*x), re(c*x))\|
|- \/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| - I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------||*|\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *cos|-----------------------| + I*\/ 2 *\/  im (c*x) + re (c*x) *sin|-----------------------||
\                                    \           2           /                                       \           2           // \                                  \           2           /                                       \           2           //

$$\left(- \sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} - \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt{2} i \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)} + \sqrt{2} \sqrt[4]{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}{2} \right)}\right)$$

=

      _____________________                           
     /   2          2        I*atan2(im(c*x), re(c*x))
-2*\/  im (c*x) + re (c*x) *e                         

$$- 2 \sqrt{\left(\operatorname{re}{\left(c x\right)}\right)^{2} + \left(\operatorname{im}{\left(c x\right)}\right)^{2}} e^{i \operatorname{atan_{2}}{\left(\operatorname{im}{\left(c x\right)},\operatorname{re}{\left(c x\right)} \right)}}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p y + q + y^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - 2 c x$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = 0$$
$$y_{1} y_{2} = - 2 c x$$