y^11-y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^11-y=0

Вы ввели

 11        
y   - y = 0

$$y^{11} - y = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{11} - y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{10}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -10 - содержит чётное число -10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[10]{\frac{1}{\left(1 y + 0\right)^{10}}}} = 1$$
$$\frac{1}{\sqrt[10]{\frac{1}{\left(1 y + 0\right)^{10}}}} = -1$$
или
$$y = 1$$
$$y = -1$$
Получим ответ: y = 1
Получим ответ: y = -1
или
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{10}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 10 i p}}{r^{10}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

y1 = -1

$$y_{1} = -1$$

y2 = 0

$$y_{2} = 0$$

y3 = 1

$$y_{3} = 1$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y4 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y5 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y6 = - + ----- - I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$y_{6} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y7 = - + ----- + I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$y_{7} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y8 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{8} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y9 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{9} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                         ___________
            ___         /       ___ 
      1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y10 = - - ----- - I*  /   - + ----- 
      4     4       \/    8     8   

$$y_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                         ___________
            ___         /       ___ 
      1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y11 = - - ----- + I*  /   - + ----- 
      4     4       \/    8     8   

$$y_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                     ___________                        ___________                      ___________                      ___________                        ___________                        ___________                      ___________                      ___________
                        ___         /       ___            ___         /       ___          ___         /       ___          ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___          ___         /       ___          ___         /       ___ 
                  1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
0 - 1 + 0 + 1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - + ----- - I*  /   - - -----  + - + ----- + I*  /   - - -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - -----  + - - ----- - I*  /   - + -----  + - - ----- + I*  /   - + ----- 
                  4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8      4     4       \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /                     ___________\ /                     ___________\ /                   ___________\ /                   ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                   ___________\ /                   ___________\
         |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |      ___         /       ___ | |      ___         /       ___ |
         |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
1*-1*0*1*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- + ----- - I*  /   - - ----- |*|- + ----- + I*  /   - - ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |*|- - ----- - I*  /   - + ----- |*|- - ----- + I*  /   - + ----- |
         \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   /

$$1 \left(-1\right) 0 \cdot 1 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

y1 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

y2 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

y3 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

y4 = 0.0

y5 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

y6 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

y7 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

y8 = 1.0

y9 = -1.0

y10 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

y11 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

График