y^5=17 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^5=17

Вы ввели

 5     
y  = 17

$$y^{5} = 17$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{5} = 17$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{y^{5}} = \sqrt[5]{17}$$
или
$$y = \sqrt[5]{17}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = 17^1/5

Получим ответ: y = 17^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 17$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 17$$
где
$$r = \sqrt[5]{17}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{17}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = \sqrt[5]{17}$$
$$y_{2} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{3} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{4} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{5} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 ____
y1 = \/ 17 

$$y_{1} = \sqrt[5]{17}$$

                                             ___________
       5 ____     ___ 5 ____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  
y2 = - ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$y_{2} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                             ___________
       5 ____     ___ 5 ____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  
y3 = - ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$y_{3} = - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                             ___________
       5 ____     ___ 5 ____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  
y4 = - ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$y_{4} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                             ___________
       5 ____     ___ 5 ____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  
y5 = - ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$y_{5} = - \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                 ___________                                           ___________                                           ___________                                           ___________
           5 ____     ___ 5 ____                /       ___      5 ____     ___ 5 ____                /       ___      5 ____     ___ 5 ____                /       ___      5 ____     ___ 5 ____                /       ___ 
5 ____     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  
\/ 17  + - ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + -----  + - ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + -----  + - ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - -----  + - ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- 
             4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\sqrt[5]{17} + \left(- \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                        ___________\
       |  5 ____     ___ 5 ____                /       ___ | |  5 ____     ___ 5 ____                /       ___ | |  5 ____     ___ 5 ____                /       ___ | |  5 ____     ___ 5 ____                /       ___ |
5 ____ |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      5 ____    /  5   \/ 5  |
\/ 17 *|- ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- |*|- ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- |*|- ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- |*|- ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- |
       \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   /

$$\sqrt[5]{17} \left(- \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} - \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{17}}{4} + \sqrt[5]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

17

$$17$$

Численный ответ

y1 = 1.76234034783232

y2 = 0.544593117352842 - 1.67608527173579*i

y3 = -1.425763291269 + 1.03587766597582*i

y4 = -1.425763291269 - 1.03587766597582*i

y5 = 0.544593117352842 + 1.67608527173579*i

График