х³+5х²=9х+45 (уравнение)

Найду корень уравнения: х³+5х²=9х+45

Вы ввели

 3      2           
x  + 5*x  = 9*x + 45

$$x^{3} + 5 x^{2} = 9 x + 45$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 5 x^{2} = 9 x + 45$$
преобразуем
$$\left(- 9 x - \left(- x^{3} - 5 x^{2} + 72\right)\right) + 27 = 0$$
или
$$\left(- 9 x - \left(- x^{3} - 5 x^{2} + 27 + 45\right)\right) + 3 \cdot 9 = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(5 \left(x^{2} - 3^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - 3^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(1 \left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right) + 5 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -3 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 3\right) \left(\left(5 \left(x + 3\right) + 1 \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right)\right) - 9\right) = 0$$
или
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 3$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 8 x + 15 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = 15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (1) * (15) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -3$$
Упростить
$$x_{3} = -5$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 5*x^2) - (9*x - 45) = 0:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -5$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

x2 = -3

$$x_{2} = -3$$

x3 = 3

$$x_{3} = 3$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 5 - 3 + 3

$$\left(\left(-5 + 0\right) - 3\right) + 3$$

=

-5

$$-5$$

произведение

1*-5*-3*3

$$1 \left(-5\right) \left(-3\right) 3$$

=

45

$$45$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -9$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -45$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -5$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -9$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -45$$

Численный ответ

x1 = 3.0

x2 = -5.0

x3 = -3.0

График