x⁴+2x²-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴+2x²-3=0

Вы ввели

 4      2        
x  + 2*x  - 3 = 0

$$\left(x^{4} + 2 x^{2}\right) - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{4} + 2 x^{2}\right) - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 2 v - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 1$$
Упростить
$$v_{2} = -3$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{1^{\frac{1}{2}}}{1} = 1$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 1^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = -1$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-3\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

          ___
x3 = -I*\/ 3 

$$x_{3} = - \sqrt{3} i$$

         ___
x4 = I*\/ 3 

$$x_{4} = \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___       ___
-1 + 1 - I*\/ 3  + I*\/ 3 

$$\left(\left(-1 + 1\right) - \sqrt{3} i\right) + \sqrt{3} i$$

=

0

$$0$$

произведение

 /     ___\     ___
-\-I*\/ 3 /*I*\/ 3 

$$\sqrt{3} i \left(- \left(-1\right) \sqrt{3} i\right)$$

=

-3

$$-3$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = -1.0

x3 = 1.73205080756888*i

x4 = -1.73205080756888*i

График