(x-6)^3=1000 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-6)^3=1000

Вы ввели

       3       
(x - 6)  = 1000

$$\left(x - 6\right)^{3} = 1000$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 6\right)^{3} = 1000$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 6\right)^{3}} = \sqrt[3]{1000}$$
или
$$x - 6 = 10$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 16$$
Получим ответ: x = 16

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 6$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1000$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1000$$
где
$$r = 10$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 10$$
$$z_{2} = -5 - 5 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -5 + 5 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 6$$
$$x = z + 6$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 16$$
$$x_{2} = 1 - 5 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 1 + 5 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 16

$$x_{1} = 16$$

               ___
x2 = 1 - 5*I*\/ 3 

$$x_{2} = 1 - 5 \sqrt{3} i$$

               ___
x3 = 1 + 5*I*\/ 3 

$$x_{3} = 1 + 5 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                   ___             ___
0 + 16 + 1 - 5*I*\/ 3  + 1 + 5*I*\/ 3 

$$\left(\left(0 + 16\right) + \left(1 - 5 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + 5 \sqrt{3} i\right)$$

=

18

$$18$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
1*16*\1 - 5*I*\/ 3 /*\1 + 5*I*\/ 3 /

$$1 \cdot 16 \cdot \left(1 - 5 \sqrt{3} i\right) \left(1 + 5 \sqrt{3} i\right)$$

=

1216

$$1216$$

Численный ответ

x1 = 1.0 + 8.66025403784439*i

x2 = 1.0 - 8.66025403784439*i

x3 = 16.0

График