(x-3)^3=27 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-3)^3=27

    Решение

    Вы ввели [src]
           3     
    (x - 3)  = 27
    (x3)3=27\left(x - 3\right)^{3} = 27
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (x3)3=27\left(x - 3\right)^{3} = 27
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (x3)33=273\sqrt[3]{\left(x - 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{27}
    или
    x3=3x - 3 = 3
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    x=6x = 6
    Получим ответ: x = 6

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=x3z = x - 3
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=27z^{3} = 27
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=27r^{3} e^{3 i p} = 27
    где
    r=3r = 3
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=3z_{1} = 3
    z2=3233i2z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
    z3=32+33i2z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=x3z = x - 3
    x=z+3x = z + 3

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=6x_{1} = 6
    x2=3233i2x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
    x3=32+33i2x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
    График
    -5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.017.520.022.5-25002500
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 6
    x1=6x_{1} = 6
                   ___
         3   3*I*\/ 3 
    x2 = - - ---------
         2       2    
    x2=3233i2x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
                   ___
         3   3*I*\/ 3 
    x3 = - + ---------
         2       2    
    x3=32+33i2x_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.5 - 2.59807621135332*i
    x2 = 6.0
    x3 = 1.5 + 2.59807621135332*i
    График
    (x-3)^3=27 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/a/77/560dafb0d49ea09ffc9a1c4bebc56.png