(x-3)^3=125 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-3)^3=125

    Решение

    Вы ввели [src]
           3      
    (x - 3)  = 125
    (x3)3=125\left(x - 3\right)^{3} = 125
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (x3)3=125\left(x - 3\right)^{3} = 125
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x3)33=1253\sqrt[3]{\left(1 x - 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{125}
    или
    x3=5x - 3 = 5
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    x=8x = 8
    Получим ответ: x = 8

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=x3z = x - 3
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=125z^{3} = 125
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=125r^{3} e^{3 i p} = 125
    где
    r=5r = 5
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=5z_{1} = 5
    z2=5253i2z_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    z3=52+53i2z_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=x3z = x - 3
    x=z+3x = z + 3

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=8x_{1} = 8
    x2=1253i2x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    x3=12+53i2x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    График
    -2.50.02.55.07.510.012.515.017.520.022.525.0-50005000
    Быстрый ответ [src]
    x1 = 8
    x1=8x_{1} = 8
                   ___
         1   5*I*\/ 3 
    x2 = - - ---------
         2       2    
    x2=1253i2x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
                   ___
         1   5*I*\/ 3 
    x3 = - + ---------
         2       2    
    x3=12+53i2x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                      ___             ___
            1   5*I*\/ 3    1   5*I*\/ 3 
    0 + 8 + - - --------- + - + ---------
            2       2       2       2    
    ((0+8)+(1253i2))+(12+53i2)\left(\left(0 + 8\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    9
    99
    произведение
        /          ___\ /          ___\
        |1   5*I*\/ 3 | |1   5*I*\/ 3 |
    1*8*|- - ---------|*|- + ---------|
        \2       2    / \2       2    /
    18(1253i2)(12+53i2)1 \cdot 8 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    152
    152152
    Численный ответ [src]
    x1 = 8.0
    x2 = 0.5 + 4.33012701892219*i
    x3 = 0.5 - 4.33012701892219*i
    График
    (x-3)^3=125 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/b3/cbaa8a6c24657a4e66673b8ef500c.png