(x+i)^3 - i = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+i)^3 - i = 0

Вы ввели

       3        
(x + I)  - I = 0

$$\left(x + i\right)^{3} - i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + i\right)^{3} - i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x + i\right)^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$x + i = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

i + x = i^1/3

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

i + x = i^1/3

Разделим обе части ур-ния на (i + x)/x

x = i^(1/3) / ((i + x)/x)

Получим ответ: x = i^(1/3) - i

Остальные 1 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + i$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x + i$$
$$x = z - i$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 i$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

False

False

Численный ответ

False