x+sqrt(x)=a (уравнение)

Найду корень уравнения: x+sqrt(x)=a

Вы ввели

      ___    
x + \/ x  = a

$$\sqrt{x} + x = a$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{x} + x = a$$
$$\sqrt{x} = a - x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x = \left(a - x\right)^{2}$$
$$x = a^{2} - 2 a x + x^{2}$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- a^{2} + 2 a x - x^{2} + x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 2 a + 1$$
$$c = - a^{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1 + 2*a)^2 - 4 * (-1) * (-a^2) = (1 + 2*a)^2 - 4*a^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = a - \frac{\sqrt{- 4 a^{2} + \left(2 a + 1\right)^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = a + \frac{\sqrt{- 4 a^{2} + \left(2 a + 1\right)^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

           /     ____________________________                                         \      ____________________________                                         
           |  4 /              2        2        /atan2(4*im(a), 1 + 4*re(a))\        |   4 /              2        2        /atan2(4*im(a), 1 + 4*re(a))\        
           |  \/  (1 + 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|---------------------------|        |   \/  (1 + 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|---------------------------|        
     1     |                                     \             2             /        |                                      \             2             /        
x1 = - + I*|- ---------------------------------------------------------------- + im(a)| - ---------------------------------------------------------------- + re(a)
     2     \                                 2                                        /                                  2                                        

$$x_{1} = i \left(- \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(a\right)},4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) - \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(a\right)},4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{re}{\left(a\right)} + \frac{1}{2}$$

           /   ____________________________                                         \      ____________________________                                         
           |4 /              2        2        /atan2(4*im(a), 1 + 4*re(a))\        |   4 /              2        2        /atan2(4*im(a), 1 + 4*re(a))\        
           |\/  (1 + 4*re(a))  + 16*im (a) *sin|---------------------------|        |   \/  (1 + 4*re(a))  + 16*im (a) *cos|---------------------------|        
     1     |                                   \             2             /        |                                      \             2             /        
x2 = - + I*|---------------------------------------------------------------- + im(a)| + ---------------------------------------------------------------- + re(a)
     2     \                               2                                        /                                  2                                        

$$x_{2} = i \left(\frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(a\right)},4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{im}{\left(a\right)}\right) + \frac{\sqrt[4]{\left(4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1\right)^{2} + 16 \left(\operatorname{im}{\left(a\right)}\right)^{2}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan_{2}}{\left(4 \operatorname{im}{\left(a\right)},4 \operatorname{re}{\left(a\right)} + 1 \right)}}{2} \right)}}{2} + \operatorname{re}{\left(a\right)} + \frac{1}{2}$$