x^4-5x^2-10=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-5x^2-10=0

Вы ввели

 4      2         
x  - 5*x  - 10 = 0

$$x^{4} - 5 x^{2} - 10 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 5 x^{2} - 10 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 5 v - 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = -10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (-10) = 65

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}}$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

Быстрый ответ

           ____________
          /       ____ 
         /  5   \/ 65  
x1 = -  /   - + ------ 
      \/    2     2    

$$x_{1} = - \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

          ____________
         /       ____ 
        /  5   \/ 65  
x2 =   /   - + ------ 
     \/    2     2    

$$x_{2} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

             ______________
            /         ____ 
           /    5   \/ 65  
x3 = -I*  /   - - + ------ 
        \/      2     2    

$$x_{3} = - i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

            ______________
           /         ____ 
          /    5   \/ 65  
x4 = I*  /   - - + ------ 
       \/      2     2    

$$x_{4} = i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         ____________        ____________          ______________          ______________
        /       ____        /       ____          /         ____          /         ____ 
       /  5   \/ 65        /  5   \/ 65          /    5   \/ 65          /    5   \/ 65  
0 -   /   - + ------  +   /   - + ------  - I*  /   - - + ------  + I*  /   - - + ------ 
    \/    2     2       \/    2     2         \/      2     2         \/      2     2    

$$\left(\left(\left(- \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}} + 0\right) + \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}\right) - i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}\right) + i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

=

0

$$0$$

произведение

        ____________      ____________         ______________        ______________
       /       ____      /       ____         /         ____        /         ____ 
      /  5   \/ 65      /  5   \/ 65         /    5   \/ 65        /    5   \/ 65  
1*-  /   - + ------ *  /   - + ------ *-I*  /   - - + ------ *I*  /   - - + ------ 
   \/    2     2     \/    2     2        \/      2     2       \/      2     2    

$$i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}} - i \sqrt{- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}} 1 \left(- \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}\right) \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}}$$

=

-10

$$-10$$

Численный ответ

x1 = 1.23738792387403*i

x2 = -1.23738792387403*i

x3 = -2.55560733958667

x4 = 2.55560733958667

График