x^4-8x=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-8x=0

Вы ввели

 4          
x  - 8*x = 0

$$x^{4} - 8 x = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} - 8 x = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{8}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{8}}}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = \frac{1}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = \frac{1}{8}$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

              ___
x3 = -1 - I*\/ 3 

$$x_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
x4 = -1 + I*\/ 3 

$$x_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                     ___            ___
0 + 0 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3 

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + 2\right) - \left(1 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(1 - \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /         ___\ /         ___\
1*0*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /

$$1 \cdot 0 \cdot 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = -1.0 - 1.73205080756888*i

x2 = -1.0 + 1.73205080756888*i

x3 = 0.0

x4 = 2.0

График