x^4+16i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+16i=0

Вы ввели

 4           
x  + 16*I = 0

$$x^{4} + 16 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 16 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -16*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = - 16 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - 16 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

              ___________            ___________
             /       ___            /       ___ 
            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
x1 = - 2*  /   - - -----  - 2*I*  /   - + ----- 
         \/    2     4          \/    2     4   

$$x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

            ___________            ___________
           /       ___            /       ___ 
          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
x2 = 2*  /   - - -----  + 2*I*  /   - + ----- 
       \/    2     4          \/    2     4   

$$x_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

              ___________            ___________
             /       ___            /       ___ 
            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
x3 = - 2*  /   - + -----  + 2*I*  /   - - ----- 
         \/    2     4          \/    2     4   

$$x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

            ___________            ___________
           /       ___            /       ___ 
          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
x4 = 2*  /   - + -----  - 2*I*  /   - - ----- 
       \/    2     4          \/    2     4   

$$x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Численный ответ

x1 = -1.84775906502257 + 0.76536686473018*i

x2 = 1.84775906502257 - 0.76536686473018*i

x3 = 0.76536686473018 + 1.84775906502257*i

x4 = -0.76536686473018 - 1.84775906502257*i