x^4+8*x^2-48=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+8*x^2-48=0

Вы ввели

 4      2         
x  + 8*x  - 48 = 0

$$\left(x^{4} + 8 x^{2}\right) - 48 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{4} + 8 x^{2}\right) - 48 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 8 v - 48 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = -48$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (1) * (-48) = 256

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
Упростить
$$v_{2} = -12$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{4^{\frac{1}{2}}}{1} = 2$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{\left(-1\right) 4^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = -2$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-12\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 \sqrt{3} i$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-12\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - 2 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

            ___
x3 = -2*I*\/ 3 

$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} i$$

           ___
x4 = 2*I*\/ 3 

$$x_{4} = 2 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___         ___
-2 + 2 - 2*I*\/ 3  + 2*I*\/ 3 

$$\left(\left(-2 + 2\right) - 2 \sqrt{3} i\right) + 2 \sqrt{3} i$$

=

0

$$0$$

произведение

            ___       ___
-2*2*-2*I*\/ 3 *2*I*\/ 3 

$$- 4 \left(- 2 \sqrt{3} i\right) 2 \sqrt{3} i$$

=

-48

$$-48$$

Численный ответ

x1 = -2.0

x2 = 3.46410161513775*i

x3 = 2.0

x4 = -3.46410161513775*i

График