x^4=125 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4=125

    Решение

    Вы ввели [src]
     4      
    x  = 125
    x4=125x^{4} = 125
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x4=125x^{4} = 125
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x44=1254\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{125}
    x44=(1)1254\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{125}
    или
    x=534x = 5^{\frac{3}{4}}
    x=534x = - 5^{\frac{3}{4}}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 5^3/4

    Получим ответ: x = 5^(3/4)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -5^3/4

    Получим ответ: x = -5^(3/4)
    или
    x1=534x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}
    x2=534x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z4=125z^{4} = 125
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=125r^{4} e^{4 i p} = 125
    где
    r=534r = 5^{\frac{3}{4}}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=1e^{4 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(4p)+cos(4p)=1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1
    значит
    cos(4p)=1\cos{\left(4 p \right)} = 1
    и
    sin(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN2p = \frac{\pi N}{2}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=534z_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}
    z2=534z_{2} = 5^{\frac{3}{4}}
    z3=534iz_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i
    z4=534iz_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=534x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}
    x2=534x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}
    x3=534ix_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i
    x4=534ix_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i
    График
    05-20-15-10-5101520050000
    Быстрый ответ [src]
           3/4
    x1 = -5   
    x1=534x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}
          3/4
    x2 = 5   
    x2=534x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}
             3/4
    x3 = -I*5   
    x3=534ix_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i
            3/4
    x4 = I*5   
    x4=534ix_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
       3/4    3/4      3/4      3/4
    - 5    + 5    - I*5    + I*5   
    ((534+534)534i)+534i\left(\left(- 5^{\frac{3}{4}} + 5^{\frac{3}{4}}\right) - 5^{\frac{3}{4}} i\right) + 5^{\frac{3}{4}} i
    =
    0
    00
    произведение
      3/4  3/4 /    3/4\    3/4
    -5   *5   *\-I*5   /*I*5   
    534i534534(534i)5^{\frac{3}{4}} i - 5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \left(- 5^{\frac{3}{4}} i\right)
    =
    -125
    125-125
    Численный ответ [src]
    x1 = -3.34370152488211
    x2 = 3.34370152488211
    x3 = -3.34370152488211*i
    x4 = 3.34370152488211*i
    График
    x^4=125 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/8/cc/e50ee811af19cb0b84b31f9479740.png