x^4=125 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=125

Вы ввели

 4      
x  = 125

$$x^{4} = 125$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 125$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{125}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{125}$$
или
$$x = 5^{\frac{3}{4}}$$
$$x = - 5^{\frac{3}{4}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^3/4

Получим ответ: x = 5^(3/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^3/4

Получим ответ: x = -5^(3/4)
или
$$x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 125$$
где
$$r = 5^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{2} = 5^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i$$
$$z_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i$$
$$x_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i$$

Быстрый ответ

       3/4
x1 = -5   

$$x_{1} = - 5^{\frac{3}{4}}$$

      3/4
x2 = 5   

$$x_{2} = 5^{\frac{3}{4}}$$

         3/4
x3 = -I*5   

$$x_{3} = - 5^{\frac{3}{4}} i$$

        3/4
x4 = I*5   

$$x_{4} = 5^{\frac{3}{4}} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

   3/4    3/4      3/4      3/4
- 5    + 5    - I*5    + I*5   

$$\left(\left(- 5^{\frac{3}{4}} + 5^{\frac{3}{4}}\right) - 5^{\frac{3}{4}} i\right) + 5^{\frac{3}{4}} i$$

=

0

$$0$$

произведение

  3/4  3/4 /    3/4\    3/4
-5   *5   *\-I*5   /*I*5   

$$5^{\frac{3}{4}} i - 5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} \left(- 5^{\frac{3}{4}} i\right)$$

=

-125

$$-125$$

Численный ответ

x1 = -3.34370152488211

x2 = 3.34370152488211

x3 = -3.34370152488211*i

x4 = 3.34370152488211*i

График