x^10 = 2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10 = 2

Вы ввели

 10    
x   = 2

$$x^{10} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} = 2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{x^{10}} = \sqrt[10]{2}$$
$$\sqrt[10]{x^{10}} = \left(-1\right) \sqrt[10]{2}$$
или
$$x = \sqrt[10]{2}$$
$$x = - \sqrt[10]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/10

Получим ответ: x = 2^(1/10)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/10

Получим ответ: x = -2^(1/10)
или
$$x_{1} = - \sqrt[10]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{2}$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[10]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[10]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[10]{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[10]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

      10___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt[10]{2}$$

     10___
x2 = \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt[10]{2}$$

                                          ___________
       10___   10___   ___               /       ___ 
       \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x3 = - ----- + ----------- - I*\/ 2 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                          ___________
       10___   10___   ___               /       ___ 
       \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x4 = - ----- + ----------- + I*\/ 2 *  /   - + ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                        ___________
     10___   10___   ___               /       ___ 
     \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x5 = ----- + ----------- - I*\/ 2 *  /   - - ----- 
       4          4                \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                        ___________
     10___   10___   ___               /       ___ 
     \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x6 = ----- + ----------- + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
       4          4                \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                          ___________
       10___   10___   ___               /       ___ 
       \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x7 = - ----- - ----------- - I*\/ 2 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                          ___________
       10___   10___   ___               /       ___ 
       \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x8 = - ----- - ----------- + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
         4          4                \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                        ___________
     10___   10___   ___               /       ___ 
     \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x9 = ----- - ----------- - I*\/ 2 *  /   - + ----- 
       4          4                \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} - \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                         ___________
      10___   10___   ___               /       ___ 
      \/ 2    \/ 2 *\/ 5      10___    /  5   \/ 5  
x10 = ----- - ----------- + I*\/ 2 *  /   - + ----- 
        4          4                \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{2} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{2}}{4} + \sqrt[10]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Численный ответ

x1 = 0.867082945311942 - 0.629972635077273*i

x2 = -1.07177346253629

x3 = -0.867082945311942 - 0.629972635077273*i

x4 = 0.867082945311942 + 0.629972635077273*i

x5 = 0.331196214043796 + 1.01931713553736*i

x6 = -0.331196214043796 - 1.01931713553736*i

x7 = -0.331196214043796 + 1.01931713553736*i

x8 = 0.331196214043796 - 1.01931713553736*i

x9 = -0.867082945311942 + 0.629972635077273*i

x10 = 1.07177346253629

График