x^10=17 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10=17

Вы ввели

 10     
x   = 17

$$x^{10} = 17$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} = 17$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = \sqrt[10]{17}$$
$$\sqrt[10]{\left(1 x + 0\right)^{10}} = \sqrt[10]{17} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[10]{17}$$
$$x = - \sqrt[10]{17}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 17^1/10

Получим ответ: x = 17^(1/10)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -17^1/10

Получим ответ: x = -17^(1/10)
или
$$x_{1} = - \sqrt[10]{17}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{17}$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 17$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 17$$
где
$$r = \sqrt[10]{17}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[10]{17}$$
$$z_{2} = \sqrt[10]{17}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[10]{17}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{17}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

      10____
x1 = -\/ 17 

$$x_{1} = - \sqrt[10]{17}$$

     10____
x2 = \/ 17 

$$x_{2} = \sqrt[10]{17}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x3 = - ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x4 = - ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x5 = ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x6 = ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x7 = - ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x8 = - ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x9 = ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                            ___________
      10____     ___ 10____                /       ___ 
      \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
x10 = ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- 
        4           4                  \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                              ___________                                           ___________                                         ___________                                         ___________                                           ___________                                           ___________                                         ___________                                         ___________
                        10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___ 
    10____   10____     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5       \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5     \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  
0 - \/ 17  + \/ 17  + - ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + -----  + - ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + -----  + ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - - -----  + ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - - -----  + - ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - -----  + - ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - -----  + ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - + -----  + ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- 
                          4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) - \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt[10]{17}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\
                 |  10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ |
   10____ 10____ |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 17    \/ 5 *\/ 17      10____    /  5   \/ 5  |
1*-\/ 17 *\/ 17 *|- ------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- |*|- ------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- |*|------ + ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- |*|------ + ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- |*|- ------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - - ----- |*|- ------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - - ----- |*|------ - ------------ - I*\/ 17 *  /   - + ----- |*|------ - ------------ + I*\/ 17 *  /   - + ----- |
                 \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   /

$$\sqrt[10]{17} \cdot 1 \left(- \sqrt[10]{17}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} - \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{17} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{17}}{4} + \sqrt[10]{17} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

-17

$$-17$$

Численный ответ

x1 = 0.41022984811159 + 1.26255764999095*i

x2 = -1.32753167488852

x3 = 1.07399568555585 - 0.780303540450598*i

x4 = -1.07399568555585 + 0.780303540450598*i

x5 = -0.41022984811159 - 1.26255764999095*i

x6 = 1.32753167488852

x7 = -1.07399568555585 - 0.780303540450598*i

x8 = 0.41022984811159 - 1.26255764999095*i

x9 = -0.41022984811159 + 1.26255764999095*i

x10 = 1.07399568555585 + 0.780303540450598*i

График