x^10=13 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^10=13

Вы ввели

 10     
x   = 13

$$x^{10} = 13$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{10} = 13$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 10 - содержит чётное число 10 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 10-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[10]{x^{10}} = \sqrt[10]{13}$$
$$\sqrt[10]{x^{10}} = \left(-1\right) \sqrt[10]{13}$$
или
$$x = \sqrt[10]{13}$$
$$x = - \sqrt[10]{13}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 13^1/10

Получим ответ: x = 13^(1/10)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -13^1/10

Получим ответ: x = -13^(1/10)
или
$$x_{1} = - \sqrt[10]{13}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{13}$$

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{10} = 13$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{10} e^{10 i p} = 13$$
где
$$r = \sqrt[10]{13}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{10 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(10 p \right)} + \cos{\left(10 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(10 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(10 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[10]{13}$$
$$z_{2} = \sqrt[10]{13}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[10]{13}$$
$$x_{2} = \sqrt[10]{13}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

      10____
x1 = -\/ 13 

$$x_{1} = - \sqrt[10]{13}$$

     10____
x2 = \/ 13 

$$x_{2} = \sqrt[10]{13}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x3 = - ------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x4 = - ------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - + ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x5 = ------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - - ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x6 = ------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - - ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x7 = - ------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{7} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                             ___________
       10____     ___ 10____                /       ___ 
       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x8 = - ------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - - ----- 
         4           4                  \/    8     8   

$$x_{8} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
     10____     ___ 10____                /       ___ 
     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x9 = ------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - + ----- 
       4           4                  \/    8     8   

$$x_{9} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                            ___________
      10____     ___ 10____                /       ___ 
      \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
x10 = ------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - + ----- 
        4           4                  \/    8     8   

$$x_{10} = - \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                            ___________                                           ___________                                         ___________                                         ___________                                           ___________                                           ___________                                         ___________                                         ___________
                      10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___      10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___    10____     ___ 10____                /       ___ 
  10____   10____     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5       \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5     \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  
- \/ 13  + \/ 13  + - ------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - + -----  + - ------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - + -----  + ------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - - -----  + ------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - - -----  + - ------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - - -----  + - ------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - - -----  + ------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - + -----  + ------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - + ----- 
                        4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8          4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8        4           4                  \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(\frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[10]{13} + \sqrt[10]{13}\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                        ___________\ /                                        ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\
               |  10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |  10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ | |10____     ___ 10____                /       ___ |
 10____ 10____ |  \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |  \/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  | |\/ 13    \/ 5 *\/ 13      10____    /  5   \/ 5  |
-\/ 13 *\/ 13 *|- ------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - + ----- |*|- ------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - + ----- |*|------ + ------------ - I*\/ 13 *  /   - - ----- |*|------ + ------------ + I*\/ 13 *  /   - - ----- |*|- ------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - - ----- |*|- ------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - - ----- |*|------ - ------------ - I*\/ 13 *  /   - + ----- |*|------ - ------------ + I*\/ 13 *  /   - + ----- |
               \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \    4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   / \  4           4                  \/    8     8   /

$$- \sqrt[10]{13} \sqrt[10]{13} \left(- \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(\frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} - \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[10]{13} \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt[10]{13}}{4} + \sqrt[10]{13} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

=

-13

$$-13$$

Численный ответ

x1 = -1.04556727000967 + 0.759649087552491*i

x2 = -1.04556727000967 - 0.759649087552491*i

x3 = 1.29239222078083

x4 = -0.399371159619256 + 1.22913804318277*i

x5 = 1.04556727000967 + 0.759649087552491*i

x6 = 1.04556727000967 - 0.759649087552491*i

x7 = 0.399371159619256 - 1.22913804318277*i

x8 = -1.29239222078083

x9 = -0.399371159619256 - 1.22913804318277*i

x10 = 0.399371159619256 + 1.22913804318277*i

График