(x^2-49)^2+(x^2+5x-14)^2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x^2-49)^2+(x^2+5x-14)^2=0

Вы ввели

         2                  2    
/ 2     \    / 2           \     
\x  - 49/  + \x  + 5*x - 14/  = 0

$$\left(x^{2} - 49\right)^{2} + \left(x^{2} + 5 x - 14\right)^{2} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{2} - 49\right)^{2} + \left(x^{2} + 5 x - 14\right)^{2} = 0$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x + 7\right)^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 18 x + 53\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 7 = 0$$
$$2 x^{2} - 18 x + 53 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -7$$
Получим ответ: x1 = -7
2.
$$2 x^{2} - 18 x + 53 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -18$$
$$c = 53$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-18)^2 - 4 * (2) * (53) = -100

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{5 i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = \frac{9}{2} - \frac{5 i}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{5 i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{9}{2} - \frac{5 i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -7

$$x_{1} = -7$$

     9   5*I
x2 = - - ---
     2    2 

$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{5 i}{2}$$

     9   5*I
x3 = - + ---
     2    2 

$$x_{3} = \frac{9}{2} + \frac{5 i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        9   5*I   9   5*I
0 - 7 + - - --- + - + ---
        2    2    2    2 

$$\left(\left(-7 + 0\right) + \left(\frac{9}{2} - \frac{5 i}{2}\right)\right) + \left(\frac{9}{2} + \frac{5 i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

произведение

     /9   5*I\ /9   5*I\
1*-7*|- - ---|*|- + ---|
     \2    2 / \2    2 /

$$1 \left(-7\right) \left(\frac{9}{2} - \frac{5 i}{2}\right) \left(\frac{9}{2} + \frac{5 i}{2}\right)$$

=

-371/2

$$- \frac{371}{2}$$

Численный ответ

x1 = 4.5 + 2.5*i

x2 = -7.0

x3 = 4.5 - 2.5*i