x^2+y^2-2y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+y^2-2y=0

Вы ввели

 2    2          
x  + y  - 2*y = 0

$$x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = x^{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (x^2) = 4 - 4*x^2

Уравнение имеет два корня.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = \frac{\sqrt{4 - 4 x^{2}}}{2} + 1$$
Упростить
$$y_{2} = 1 - \frac{\sqrt{4 - 4 x^{2}}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

            ________
           /      2 
y1 = 1 - \/  1 - x  

$$y_{1} = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$$

            ________
           /      2 
y2 = 1 + \/  1 - x  

$$y_{2} = \sqrt{1 - x^{2}} + 1$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ________          ________
          /      2          /      2 
0 + 1 - \/  1 - x   + 1 + \/  1 - x  

$$\left(\sqrt{1 - x^{2}} + 1\right) + \left(\left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right) + 0\right)$$

=

2

$$2$$

произведение

  /       ________\ /       ________\
  |      /      2 | |      /      2 |
1*\1 - \/  1 - x  /*\1 + \/  1 - x  /

$$1 \cdot \left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right) \left(\sqrt{1 - x^{2}} + 1\right)$$

=

 2
x 

$$x^{2}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p y + q + y^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -2$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = x^{2}$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = 2$$
$$y_{1} y_{2} = x^{2}$$