x^2+xy+y^2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^2+xy+y^2=0

Вы ввели

 2          2    
x  + x*y + y  = 0

$$x^{2} + x y + y^{2} = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = y$$
$$c = y^{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(y)^2 - 4 * (1) * (y^2) = -3*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{- y^{2}}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- y^{2}}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

       /         ___\
     y*\-1 + I*\/ 3 /
x1 = ----------------
            2        

$$x_{1} = \frac{y \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$

        /        ___\ 
     -y*\1 + I*\/ 3 / 
x2 = -----------------
             2        

$$x_{2} = - \frac{y \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      /         ___\     /        ___\
    y*\-1 + I*\/ 3 /   y*\1 + I*\/ 3 /
0 + ---------------- - ---------------
           2                  2       

$$- \frac{y \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} + \left(\frac{y \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2} + 0\right)$$

=

  /         ___\     /        ___\
y*\-1 + I*\/ 3 /   y*\1 + I*\/ 3 /
---------------- - ---------------
       2                  2       

$$- \frac{y \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} + \frac{y \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$

произведение

    /         ___\    /        ___\ 
  y*\-1 + I*\/ 3 / -y*\1 + I*\/ 3 / 
1*----------------*-----------------
         2                 2        

$$- \frac{y \left(1 + \sqrt{3} i\right)}{2} \cdot 1 \frac{y \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$

=

 2
y 

$$y^{2}$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = y$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = y^{2}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - y$$
$$x_{1} x_{2} = y^{2}$$