Х^(-3)=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: Х^(-3)=8

Вы ввели

1     
-- = 8
 3    
x     

$$\frac{1}{x^{3}} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{1}{x^{3}} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$$
или
$$x = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: x = 1/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = 8$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = 1/2

$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       4      4   

$$x_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       4      4   

$$x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Численный ответ

x1 = 0.5

x2 = -0.25 - 0.433012701892219*i

x3 = -0.25 + 0.433012701892219*i

График