(x^5)-80=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x^5)-80=0

Вы ввели

 5         
x  - 80 = 0

$$x^{5} - 80 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} - 80 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{80}$$
или
$$x = \sqrt[5]{80}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 80^1/5

Получим ответ: x = 80^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 80$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 80$$
где
$$r = \sqrt[5]{80}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{80}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[5]{80}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 ____
x1 = \/ 80 

$$x_{1} = \sqrt[5]{80}$$

                                           ___________
       5 ____    4/5  7/10                /       ___ 
       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  
x2 = - ------ + ---------- - I*\/ 80 *  /   - + ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                           ___________
       5 ____    4/5  7/10                /       ___ 
       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  
x3 = - ------ + ---------- + I*\/ 80 *  /   - + ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                           ___________
       5 ____    4/5  7/10                /       ___ 
       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  
x4 = - ------ - ---------- - I*\/ 80 *  /   - - ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                           ___________
       5 ____    4/5  7/10                /       ___ 
       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  
x5 = - ------ - ---------- + I*\/ 80 *  /   - - ----- 
         4          4                 \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                               ___________                                         ___________                                         ___________                                         ___________
           5 ____    4/5  7/10                /       ___      5 ____    4/5  7/10                /       ___      5 ____    4/5  7/10                /       ___      5 ____    4/5  7/10                /       ___ 
5 ____     \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5       \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  
\/ 80  + - ------ + ---------- - I*\/ 80 *  /   - + -----  + - ------ + ---------- + I*\/ 80 *  /   - + -----  + - ------ - ---------- - I*\/ 80 *  /   - - -----  + - ------ - ---------- + I*\/ 80 *  /   - - ----- 
             4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8          4          4                 \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\sqrt[5]{80} + \left(- \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\ /                                      ___________\
       |  5 ____    4/5  7/10                /       ___ | |  5 ____    4/5  7/10                /       ___ | |  5 ____    4/5  7/10                /       ___ | |  5 ____    4/5  7/10                /       ___ |
5 ____ |  \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  | |  \/ 80    2   *5         5 ____    /  5   \/ 5  |
\/ 80 *|- ------ + ---------- - I*\/ 80 *  /   - + ----- |*|- ------ + ---------- + I*\/ 80 *  /   - + ----- |*|- ------ - ---------- - I*\/ 80 *  /   - - ----- |*|- ------ - ---------- + I*\/ 80 *  /   - - ----- |
       \    4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   / \    4          4                 \/    8     8   /

$$\sqrt[5]{80} \left(- \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} - \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{80}}{4} + \sqrt[5]{80} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

80

$$80$$

Численный ответ

x1 = -1.94346015889993 - 1.41200645692486*i

x2 = 2.40224886796286

x3 = 0.742335724918504 - 2.28467443963874*i

x4 = 0.742335724918504 + 2.28467443963874*i

x5 = -1.94346015889993 + 1.41200645692486*i

График