Решение уравнений/ Любые/ x^5 + 32 = 0

x^5 + 32 = 0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^5 + 32 = 0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5         
x  + 32 = 0
    x5+32=0x^{5} + 32 = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x5+32=0x^{5} + 32 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x55=−325\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-32}
    или
    x=2−15x = 2 \sqrt[5]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2*1^1/5

    Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/5)

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z5=−32z^{5} = -32
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r5e5ip=−32r^{5} e^{5 i p} = -32
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=−1e^{5 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(5p)+cos⁡(5p)=−1i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1
    значит
    cos⁡(5p)=−1\cos{\left(5 p \right)} = -1
    и
    sin⁡(5p)=0\sin{\left(5 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN5+π5p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=−2z_{1} = -2
    z2=12+52+2i58−58z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    z3=−52+12−5i58−58−i58−58z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    z4=12+258−5858+58−5i58+582−i58+582−i58−582+5i58−582z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    z5=−258−5858+58+12−i58−582+i58+582+5i58−582+5i58+582z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=−2x_{1} = -2
    x2=12+52+2i58−58x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    x3=−52+12−5i58−58−i58−58x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    x4=12+258−5858+58−5i58+582−i58+582−i58−582+5i58−582x_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    x5=−258−5858+58+12−i58−582+i58+582+5i58−582+5i58+582x_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -2
    x1=−2x_{1} = -2
                       /       ___________              ___________\
           ___     |      /       ___              /       ___ |
     1   \/ 5      |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
x2 = - - ----- + I*|-   /   - - -----  - \/ 5 *  /   - - ----- |
     2     2       \  \/    8     8            \/    8     8   /
    x2=−52+12+i(−558−58−58−58)x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + i \left(- \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)
               /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     2     \         2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8
    x3=12+258−5858+58+i(−558+582−58+582−58−582+558−582)x_{3} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)
               /     ___________        ___________              ___________              ___________\                                      
           |    /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                      
           |   /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |          ___________      ___________
           |  /   - + -----      /   - - -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |         /       ___      /       ___ 
     1     |\/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |        /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x4 = - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2*  /   - - ----- *  /   - + ----- 
     2     \       2                  2                     2                        2           /     \/    8     8    \/    8     8
    x4=−258−5858+58+12+i(−58−582+58+582+558−582+558+582)x_{4} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)
                              ___________
           ___           /       ___ 
     1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - + ----- + 2*I*  /   - - ----- 
     2     2         \/    8     8
    x5=12+52+2i58−58x_{5} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.618033988749895 + 1.90211303259031*i
    x2 = 1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
    x3 = 1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
    x4 = -0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
    x5 = -2.0