x^5=i (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5=i

Вы ввели

 5    
x  = I

$$x^{5} = i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{i}$$
или
$$x = \sqrt[5]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = i^1/5

Получим ответ: x = i^(1/5)

Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{10}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = i$$
$$z_{2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{i}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = i$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{4} - \frac{i}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{i}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = I

$$x_{1} = i$$

          ___________                  
         /       ___      /        ___\
        /  5   \/ 5       |  1   \/ 5 |
x2 =   /   - + -----  + I*|- - + -----|
     \/    8     8        \  4     4  /

$$x_{2} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)$$

            ___________                                ___________
           /       ___                                /       ___ 
          /  5   \/ 5                         ___    /  5   \/ 5  
         /   - + -----      /        ___\   \/ 5 *  /   - + ----- 
       \/    8     8        |  1   \/ 5 |         \/    8     8   
x3 = - ---------------- + I*|- - - -----| + ----------------------
              2             \  4     4  /             2           

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4}\right)$$

            ___________        ___________                                                            ___________              ___________
           /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
         /   - + -----      /   - - -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- 
       \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
x4 = - ---------------- + ---------------- + I*|- - +   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ----------------------
              4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4           

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)$$

            ___________        ___________                                                            ___________              ___________
           /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
         /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- 
       \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
x5 = - ---------------- - ---------------- + I*|- - -   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- + ----------------------
              4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4           

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{4}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                ___________                                ___________          ___________        ___________                                                            ___________              ___________          ___________        ___________                                                            ___________              ___________
                                               /       ___                                /       ___          /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___          /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ 
         ___________                          /  5   \/ 5                         ___    /  5   \/ 5          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5          /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  
        /       ___      /        ___\       /   - + -----      /        ___\   \/ 5 *  /   - + -----        /   - + -----      /   - - -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + -----        /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- 
       /  5   \/ 5       |  1   \/ 5 |     \/    8     8        |  1   \/ 5 |         \/    8     8        \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8        \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   
I +   /   - + -----  + I*|- - + -----| + - ---------------- + I*|- - - -----| + ---------------------- + - ---------------- + ---------------- + I*|- - +   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ---------------------- + - ---------------- - ---------------- + I*|- - -   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- + ----------------------
    \/    8     8        \  4     4  /            2             \  4     4  /             2                       4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4                       4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4           

$$\left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{4}\right)\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(\left(- \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4}\right)\right) + \left(\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)\right) + i\right)\right)\right)$$

=

                                          /           ___________      ___________\     /           ___________      ___________\
      /        ___\     /        ___\     |          /       ___      /       ___ |     |          /       ___      /       ___ |
      |  1   \/ 5 |     |  1   \/ 5 |     |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |     |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |
I + I*|- - - -----| + I*|- - + -----| + I*|- - +   /   - - ----- *  /   - + ----- | + I*|- - -   /   - - ----- *  /   - + ----- |
      \  4     4  /     \  4     4  /     \  4   \/    8     8    \/    8     8   /     \  4   \/    8     8    \/    8     8   /

$$i \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4}\right) + i \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{4}\right) + i \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right) + i \left(- \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) + i$$

произведение

                                       /       ___________                                ___________\ /       ___________        ___________                                                            ___________              ___________\ /       ___________        ___________                                                            ___________              ___________\
                                       |      /       ___                                /       ___ | |      /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ | |      /       ___        /       ___                                                            /       ___              /       ___ |
  /     ___________                  \ |     /  5   \/ 5                         ___    /  5   \/ 5  | |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  | |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       /           ___________      ___________\     ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
  |    /       ___      /        ___\| |    /   - + -----      /        ___\   \/ 5 *  /   - + ----- | |    /   - + -----      /   - - -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- | |    /   - - -----      /   - + -----      |          /       ___      /       ___ |   \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |
  |   /  5   \/ 5       |  1   \/ 5 || |  \/    8     8        |  1   \/ 5 |         \/    8     8   | |  \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   | |  \/    8     8      \/    8     8        |  1      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  |         \/    8     8            \/    8     8   |
I*|  /   - + -----  + I*|- - + -----||*|- ---------------- + I*|- - - -----| + ----------------------|*|- ---------------- + ---------------- + I*|- - +   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- - ----------------------|*|- ---------------- - ---------------- + I*|- - -   /   - - ----- *  /   - + ----- | - ---------------------- + ----------------------|
  \\/    8     8        \  4     4  // \         2             \  4     4  /             2           / \         4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4           / \         4                  4             \  4   \/    8     8    \/    8     8   /             4                        4           /

$$i \left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + i \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{1}{4}\right)\right)$$

=

       _______________      _______________        ______________
      /           ___      /           ___        /          ___ 
    \/  50 - 10*\/ 5     \/  50 + 10*\/ 5     5*\/  10 + 2*\/ 5  
I - ------------------ - ------------------ + -------------------
            32                   64                    64        

$$- \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{32} - \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{64} + \frac{5 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{64} + i$$

Численный ответ

x1 = 0.587785252292473 - 0.809016994374947*i

x2 = 0.951056516295154 + 0.309016994374947*i

x3 = -0.587785252292473 - 0.809016994374947*i

x4 = 1.0*i

x5 = -0.951056516295154 + 0.309016994374947*i