x^5 = 5 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5 = 5

Вы ввели

 5    
x  = 5

$$x^{5} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{5}$$
или
$$x = \sqrt[5]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/5

Получим ответ: x = 5^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[5]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{5}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[5]{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

     5 ___
x1 = \/ 5 

$$x_{1} = \sqrt[5]{5}$$

                                    ___________
       5 ___    7/10               /       ___ 
       \/ 5    5         5 ___    /  5   \/ 5  
x2 = - ----- + ----- - I*\/ 5 *  /   - + ----- 
         4       4             \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                    ___________
       5 ___    7/10               /       ___ 
       \/ 5    5         5 ___    /  5   \/ 5  
x3 = - ----- + ----- + I*\/ 5 *  /   - + ----- 
         4       4             \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                                    ___________
       5 ___    7/10               /       ___ 
       \/ 5    5         5 ___    /  5   \/ 5  
x4 = - ----- - ----- - I*\/ 5 *  /   - - ----- 
         4       4             \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} - \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                                    ___________
       5 ___    7/10               /       ___ 
       \/ 5    5         5 ___    /  5   \/ 5  
x5 = - ----- - ----- + I*\/ 5 *  /   - - ----- 
         4       4             \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{5^{\frac{7}{10}}}{4} - \frac{\sqrt[5]{5}}{4} + \sqrt[5]{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

x1 = -1.11622474376532 + 0.810984747157389*i

x2 = 0.426359913034708 + 1.31220088525839*i

x3 = 1.37972966146121

x4 = -1.11622474376532 - 0.810984747157389*i

x5 = 0.426359913034708 - 1.31220088525839*i

График