x^6=13 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=13

Вы ввели

 6     
x  = 13

$$x^{6} = 13$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = 13$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{13}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{13}$$
или
$$x = \sqrt[6]{13}$$
$$x = - \sqrt[6]{13}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 13^1/6

Получим ответ: x = 13^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -13^1/6

Получим ответ: x = -13^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{13}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{13}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 13$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 13$$
где
$$r = \sqrt[6]{13}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{13}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{13}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{13}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{13}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      6 ____
x1 = -\/ 13 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{13}$$

     6 ____
x2 = \/ 13 

$$x_{2} = \sqrt[6]{13}$$

       6 ____       ___ 6 ____
       \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 
x3 = - ------ - --------------
         2            2       

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$

       6 ____       ___ 6 ____
       \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 
x4 = - ------ + --------------
         2            2       

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$

     6 ____       ___ 6 ____
     \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 
x5 = ------ - --------------
       2            2       

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$

     6 ____       ___ 6 ____
     \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 
x6 = ------ + --------------
       2            2       

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        6 ____       ___ 6 ____     6 ____       ___ 6 ____   6 ____       ___ 6 ____   6 ____       ___ 6 ____
    6 ____   6 ____     \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13      \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13    \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13    \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 
0 - \/ 13  + \/ 13  + - ------ - -------------- + - ------ + -------------- + ------ - -------------- + ------ + --------------
                          2            2              2            2            2            2            2            2       

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{13} + 0\right) + \sqrt[6]{13}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /  6 ____       ___ 6 ____\ /  6 ____       ___ 6 ____\ /6 ____       ___ 6 ____\ /6 ____       ___ 6 ____\
   6 ____ 6 ____ |  \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 | |  \/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 | |\/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 | |\/ 13    I*\/ 3 *\/ 13 |
1*-\/ 13 *\/ 13 *|- ------ - --------------|*|- ------ + --------------|*|------ - --------------|*|------ + --------------|
                 \    2            2       / \    2            2       / \  2            2       / \  2            2       /

$$\sqrt[6]{13} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{13}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} - \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{13}}{2} + \frac{\sqrt[6]{13} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-13

$$-13$$

Численный ответ

x1 = -0.766703118508194 - 1.32796875557769*i

x2 = -1.53340623701639

x3 = 0.766703118508194 - 1.32796875557769*i

x4 = -0.766703118508194 + 1.32796875557769*i

x5 = 0.766703118508194 + 1.32796875557769*i

x6 = 1.53340623701639

График