x^(3/2)=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^(3/2)=8

Вы ввели

 3/2    
x    = 8

$$x^{\frac{3}{2}} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{\frac{3}{2}} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3/2 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) 2/3-ую степень:
Получим:
$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$$
или
$$x = 4$$
Получим ответ: x = 4

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{\frac{3}{2}} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\left(r e^{i p}\right)^{\frac{3}{2}} = 8$$
где
$$r = 4$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{\frac{3 i p}{2}} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(\frac{3 p}{2} \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{4 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 4$$
$$z_{2} = \left(-1 - \sqrt{3} i\right)^{2}$$
$$z_{3} = \left(-1 + \sqrt{3} i\right)^{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \left(-1 - \sqrt{3} i\right)^{2}$$
$$x_{3} = \left(-1 + \sqrt{3} i\right)^{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 4

$$x_{1} = 4$$

                ___
x2 = -2 + 2*I*\/ 3 

$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$

                ___
x3 = -2 - 2*I*\/ 3 

$$x_{3} = -2 - 2 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___              ___
4 + -2 + 2*I*\/ 3  + -2 - 2*I*\/ 3 

$$\left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right) + \left(4 + \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /           ___\ /           ___\
4*\-2 + 2*I*\/ 3 /*\-2 - 2*I*\/ 3 /

$$\left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right) 4 \left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)$$

=

64

$$64$$

Численный ответ

x1 = 4.0

x2 = -2.0 + 3.46410161513775*i

x3 = -2.0 - 3.46410161513775*i

График