x^3-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-i=0

Вы ввели

 3        
x  - I = 0

$$x^{3} - i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} - i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$x = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = i^1/3

Получим ответ: x = i^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -I

$$x_{1} = - i$$

           ___
     I   \/ 3 
x2 = - - -----
     2     2  

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

           ___
     I   \/ 3 
x3 = - + -----
     2     2  

$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ___         ___
     I   \/ 3    I   \/ 3 
-I + - - ----- + - + -----
     2     2     2     2  

$$\left(- i + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

   /      ___\ /      ___\
   |I   \/ 3 | |I   \/ 3 |
-I*|- - -----|*|- + -----|
   \2     2  / \2     2  /

$$- i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

I

$$i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - i$$

Численный ответ

x1 = -1.0*i

x2 = 0.866025403784439 + 0.5*i

x3 = -0.866025403784439 + 0.5*i